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Activités mathématiques en classe de terminale technologique - 14. Coût total, coût marginal et bénéfice
Publisher: T3 France
Editor: T3 France
Author: Boris Hanus, Isabelle Pazé, Gérald Torres
Topic: Mathematics
Tags Graphs , Extreme value , Derive , Tables
Une usine française assure la fabrication chaque semaine d'une quantité q en tonnes de produits chimiques. Elle produit entre 10 et 100 tonnes par semaine. Le coût total de q tonnes est donné par la fonction C définie sur [10 ; 100] par C(q) = 3q2 + 40q + 2700. La fonction CM représentant le coût moyen unitaire est définie par CM(q) = C(q) / q : c'est le coût moyen d'une tonne de produit lorsque q tonnes sont produites.
1. a. Montrer que C’M(q) = 3(q-30) (q+30) / q2 pour tout réel q dans [10 ; 100].
b. Dresser le tableau de variations de la fonction C’M. Quel est le coût moyen unitaire minimal ?
2. Le coût marginal Cm est défini comme étant le supplément de coût engendré par la production d'une tonne de produit supplémentaire, soit Cm (q) = C(q + 1) - C(q).
a. Calculer Cm (q) et interpréter le résultat. Exprimer Cm (q) en fonction de q pour tout réel q dans [10 ; 100].
b. Déterminer C' (q). Quelle est la différence entre Cm (q) et C' (q) ?
3. On souhaite comparer le coût marginal et le coût unitaire moyen.
Représenter ces 2 fonctions dans un même repère et étudier leur point d'intersection. Conclure.
4. Le cours du marché offre un prix de 310 € par tonne fabriquée. Pour tout q dans [10 ; 100], on note R(q) la recette et B(q) le bénéfice générés par la production et la vente de q tonnes de produits chimiques par l'usine.
a. Exprimer R(q) et B(q) en fonction de q.
b. Quel est le nombre de tonnes de produits chimiques à produire par l'usine pour réaliser un bénéfice maximal ?
